秋高气爽，桂花飘香，在美丽的金秋十月，丹麦科学史家 Jens Høyrup教授应邀于2018年10月8日至10月24日，为上海交通大学科学史与科学文化研究院的研究生开设了为期三周的有关近代欧洲早期代数学发展历程的讲座。

Jens Høyrup教授是丹麦罗斯基尔德大学哲学和科学研究部荣休教授，中国科学院自然科学史研究所名誉教授。研究领域涉及古巴比伦数学、古希腊数学、中世纪伊斯兰数学、巴洛克科学，以及数学与科学哲学。作为国际著名科学史家，他曾主持根特大学乔治·萨顿纪念讲席（George Sarton Memorial Chair, Ghent University, 2008-2009）、中科院自然科学史研究所第七届“竺可桢科学史讲席”。2015年荣获国际数学史学会杰出贡献奖（O. May Medal）。

本次Jens的讲座以“近代欧洲早期代数学的发展”为主题，重点讲述欧洲尤其是在意大利地区“算术代数向符号代数”发展的曲折、缓慢历程。六次讲座视角宏大、主题鲜明、内容精彩、材料丰富、讲解风趣，以历史、文化及人文等背景材料为依归，讲述了近代欧洲早期代数史的发展。

10月8日第一次讲座的题目为“About the Italian background to RechenmeisterMathematics during 12~15 century”（12~15 世纪“算术家-数学”的意大利背景资料）。从五个方面对代数学的早期发展做了背景介绍。在此次讲座中，Jens指出虽然每个传统的智慧都是真理，但是通过研究，会发现有些并不完全正确。他仔细探索了早期算术数学、14和15世纪算术代数的发展，从早期算术家中寻找代数在意大利的足迹。可以看出此时的算术代数还没有完成彻底的转变。在今天看来，那些繁琐的文字应当被简化，但是数学知识的创造和演进不是一蹴而就的，它必须经历一个缓慢甚至曲折的过程，经由许多数学家、非数学家等人的不断努力才会不断的发展、前进。

第一次讲座后合影

10月10日第二次讲座的题目为“A diluted al-Karaji in Abbacus Mathematics”（阿尔·卡拉吉关于计算数学的诠释）。在这一讲中，Jens认为意大利算术学校的代数既不是受到拉丁代数著作（花拉子米《代数学》和斐波那契《计算之书》）的启发，也不是直接受到花拉子米（Al-Khwarizmi, 约780-约850）、阿布·卡米尔 （Abu Kamil, 850-930）和阿尔·凯拉吉（Al-Karaji, 953-1029）的启发，他认为算术代数的发展是间接来自阿尔·凯拉吉，通过一系列事例论述这种间接启发的作用。

10月15日第三次讲座的题目为“The 15~17 century transformation of abbacus algebra”（“算术代数”在 15~17 世纪的转化）。Jens首先指出了埃德加—齐尔塞尔（Edgar Zilsel,1891-1944）的观点：1942年，齐尔塞尔提出16至17世纪现代数学的出现既不是从大学传统中产生，也不是从文艺复兴时期的人文主义潮流中产生，亦不是从工匠或其他从业者中产生。人文主义学者、工匠和大学老师在文艺复兴之前是有着明确界限的，但在文艺复兴期间，近代科学中新兴的科学家群体是学者和工匠融合的标志，对工匠的实验、量化方法和因果思维的吸收是新科学产生的关键。Jens通过追溯从12世纪到16世纪末和17世纪的拉丁—大学传统中的代数，意大利的算术传统和人文主义以及他们之间的交流，进而将齐尔塞尔的观点应用于韦达（François Viète,1540-1603）和笛卡尔（Rene Descartes,1596-1650）等的现代代数的出现。之后从六个方面具体介绍代数从12世纪到16世纪末及17世纪的转化过程以及现代代数的崛起。

认真聆听Jens的报告

10月17日第四次讲座的题目为“What did the abbacus teachers' aim at when they ended up doing mathematics ?”（当算术教师以实作数学依归的时候，他们的目标是什么？）在14世纪和15世纪，意大利的算术代数给我们提供了许多与我们认为正常（或正确）数学行为的偏差：双假设法的发明用于求解三次和四次方程，假设法一般来说是有效的，但实际上只有在非常特殊的情况下才有效；并且（在现代术语中）试图通过将根作为负指数来扩展乘法半群的非负代数指数到一个完整的群体。在这两种情况下谬误的作者一定知道他们在作弊。然而，某些算术作家似乎发现了一些错误的东西，并设计了三次和四次方程的替代方法，并制定了防止后者误解的安全防范措施。Jens分析了两种现象，并将它们与算术数学的一般规范系统联系起来，因为这可以从算术论文更基本的层次中提取出来。

10月22日第五次讲座的题目为“‘Proportions’in and around the Italian abbacus tradition”（意大利及其周边算术传统中的“比例算法”）。在这个时代赋予术语的意义上，“比例”的语言和概念可以追溯到普通的算术书籍以及那些由博学或具有人文主义野心的作者所写的与算术文化相近的广泛作品中。 比如斐波那契（Fibonacci,1175-1250）的《计算之书》（《Liber Abaci）》，弗洛伦萨的贝内代托（Benedetto da Firenze,1429-1479）的《算术论文》（Trattato d'Aritmetica）和卢卡·帕乔利（Luca Pacioli,1445?-1517）的《数学大全》（《Summa》）。 这种语言最初如普通书籍所反映的一样缺少算术文化，但它慢慢地、适度地悄悄进入文化中。宽泛作品的作者谈到了这个话题，事实上如果他们想要与大学和人文主义数学有关，那就不得不这样做；但即使在这些情况下，比例通常还是孤立的，并没有广泛地穿透算术数学并融入其中。

学生积极提问

10月24日第六次讲座的题目为“Hesitating progress toward algebraic symbolization in abbacus and related manuscripts c. 1300 to c.1550”（1300 至 1550 年间，算术与相关手稿中代数符号化的缓慢进步）。首先讲述在意大利之前最早的阿拉伯代数，以花拉子米的《代数学》为代表；然后讲到拉丁代数，例如斐波那契的《计算之书》以及此时对花拉子米《代数学》的翻译，重点讲述了算术学校、代数之前的计算数学、计算代数的兴起以及为代数发展做出贡献的重要人物；到了14世纪，意大利的算术学校的老师到普罗旺斯学习，主要介绍了三部写于普罗旺斯的著作。Jens从1260年算术学校兴起的年代算起，到14世纪，共分为三代算术代数时期，这三代正体现了数学从算术到代数的不断演变；到15世纪中期即1460—1470年间，三部百科全书式的算术著作在弗罗伦萨出版；到15世纪后期，重点讲述了卢卡·帕乔利的《Summa》中对代数学发展做出的贡献；之后论述德国和法国对代数的采用，进而让我们认识到算术与相关手稿中代数符号化的缓慢进步的过程。

Jens非常重视这次讲座，他提前将详细的课程大纲加标注版发给学生，以便使其对所讲内容进行仔细地预习和充分地消化吸收。纪志刚教授亲自主持每一次讲座并予以总结点评，或归纳Jens所讲要点并给出分析、或针对讲座中某些问题提出补充或商榷意见。学生们也以极大的热情积极参与每一次的课堂讨论，促使教学与交流取得了预期的良好效果。此外，上海师范大学哲学学院王幼军教授、南通大学徐伯华教授以及来自上海师范大学、华东师范大学的研究生也参加了讲座。讲座期间，应王幼军教授的邀请，Jens到上海师范大学做了题为“中世纪欧洲大学的兴起和衰落以及19世纪的复兴”的报告。

本次讲座内容丰富，主题突出，使大家对欧洲近代早期代数史的发展有了宏观的认识，更为研究西方代数学传入中国提供了许多背景资料和细节知识，同学们反映深受启发，收获甚丰。怎奈美好的金秋十月总是走得太快，讲座暂时落下帷幕，但是我们相信Jens的报告值得好好消化、吸收，且必将对我们今后的研究大有助益。

作者：田春芝 纪志刚

审编：栾利云